2012年浙江省高考数学试卷(文科)word版+参考答案解析(精校版)

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2012年浙江省高考数学试卷（文科）　一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=（　　）　A．{1，2，3，4，6}B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1，2}2．（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（　　）　A．12i﹣B．2i﹣C．2+iD．1+2i3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）　A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm34．（2012•浙江）设aR∈，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0﹣与直线l2：x+2y+4=0平行的（）　A．充分不必要条件B．必要不充分条件　C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）　A．若lα∥，lβ∥，则αβ∥B．若lα∥，lβ⊥，则αβ⊥C．若αβ⊥，lα⊥，则lβ⊥D．若αβ⊥，lα∥，则lβ⊥6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）　A．B．C．D．7．（2012•浙江）设，是两个非零向量（　　）　A．若|+|=|||﹣|，则⊥B．若⊥，则|+|=|||﹣|　C．若|+|=|||﹣|，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=|||﹣|8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　）　A．3B．2C．D．9．（2012•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）　A．B．C．5D．610．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（　　）　A．若ea+2a=eb+3b，则a＞bB．若ea+2a=eb+3b，则a＜b　C．若ea2a=e﹣b3b﹣，则a＞bD．若ea2a=e﹣b3b﹣，则a＜b二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为　_________　．12．（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是　_________　．13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　_________　．14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是　_________　．15．（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　_________　．16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x[0∈，1]时，f（x）=x+1，则=　_________　．17．（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　_________　．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．19．（2012•浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，nN∈*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，nN∈*．（1）求an，bn；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA﹣1B1C1D1中，ADBC∥，ADAB⊥，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EFA∥1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．21．（2012•浙江）已知aR∈，函数f（x）=4x32ax+a﹣．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2a|﹣＞0．22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．（1）求p，t的值．（2）求△ABP面积的最大值．2012年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=（　　）　A．{1，2，3，4，6}B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1，2}考点：交、并、补集的混合运算。专题：计算题。分析：由题意，可先由已知条件求出CUQ，然后由交集的定义求出P∩（CUQ）即可得到正确选项解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，C∴UQ={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，P∩∴（CUQ）={1，2}故选D点评：本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算2．（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（　　）　A．12i﹣B．2i﹣C．2+iD．1+2i考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）　A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm3考点：由三视图求面积、体积。专题：计算题。分析：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和2的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，面积是cm2，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高，∴三棱锥的体积是cm3，故选A．点评：本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题．4．（2012•浙江）设aR∈，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0﹣与直线l2：x+2y+4=0平行的（　　）　A．充分不必要条件B．必要不充分条件　C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。分析：利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．解答：解：（1）充分性：当a=1时，直线l1：x+2y1=0﹣与直线l2：x+2y+4=0平行；（2）必要性：当直线l1：ax+2y1=0﹣与直线l2：x+2y+4=0平行时有：a•2=2•1，即：a=1．“a=1”∴是“直线l1：ax+2y1=0﹣与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件．故选C．点评：本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握．5．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）　A．若lα∥，lβ∥，则αβ∥B．若lα∥，lβ⊥，则αβ⊥C．若αβ⊥，lα⊥，则lβ⊥D．若αβ⊥，lα∥，则lβ⊥考点：平面与平面之间的位置关系。专题：证明题。分析：利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题解答：解：A，若lα∥，lβ∥，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若lα∥，lβ⊥，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若αβ⊥，lα⊥，则l可能在平面β内，排除C；D，若αβ⊥，lα∥，则l可能与β平行，相交，排除D故选B点评：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）　A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。专题：证明题；综合题。分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．7．（2012•浙江）设，是两个非零向量（　　）　A．若|+|=|||﹣|，则⊥B．若⊥，则|+|=|||﹣|　C．若|+|=|||﹣|，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=|||﹣|考点：平面向量的综合题。专题：计算题。分析：通过向量特例，判断A的正误；利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误；通过特例直接判断向量共线，判断正误；通过反例直接判断结果不正确即可．解答：解：对于A，，，显然|+|=|||﹣|，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确；对于B，若⊥，则|+|=|﹣|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=|||﹣|不正确；对于C，若|+|=|||﹣|，则存在实数λ，使得=λ，例如，，显然=，所以正确．对于D，若存在实数λ，使得=λ，则|+|=|||﹣|，例如，显然=，但是|+|=|||﹣|，不正确．故选C．点评：本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　）　A．3B．2C．D．考点：圆锥曲线的共同特征。专题：计算题。分析：根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．解答：解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．9．（2012•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）　A．B．C．5D．6考点：基本不等式在最值问题中的应用。专题：计算题。分析：将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=13x+4y=∴（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号3x+4y≥5∴即3x+4y的最小值是5故选C点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．10．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（　　）　A．若ea+2a=eb+3b，则a＞bB．若ea+2a=eb+3b，则a＜b　C．若ea2a=e﹣b3b﹣，则a＞bD．若ea2a=e﹣b3b﹣，则a＜b考点：指数函数综合题。专题：计算题。分析：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于ea2a=e﹣b3b﹣，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．解答：解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥b这与a≤b矛盾，故a≤b成立不可能成立，故B不对；对于ea2a=e﹣b3b﹣，若a≥b成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥b，故排除C，D．故选A．点评：本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b与ea2a=e﹣b3b﹣，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为　160　．考点：分层抽样方法。专题：计算题。分析：先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果．解答：解：∵有男生560人，女生420人，∴年级共有560+420=980∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴要从男生中抽取560×=160，故答案为：160点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．12．（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是　　．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率。专题：计算题。分析：先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为的种数，最后根据古典概型的概率公式求之即可．解答：解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10种其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能故该两点间的距离为的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　．考点：循环结构。专题：计算题。分析：通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可．解答：解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3，不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4，不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5，不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6，满足判断框的条件，退出循环，输出结果．故答案为：．点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力．14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是　[0，]　．考点：简单线性规划。专题：计算题。分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0在B处取最大值，由可得B（），此时z=故Z=x+2y的取值范围为：[0，]故答案为：[0，]点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意义是关键．15．（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　﹣16　．考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：设∠AMB=θ，则∠AMC=πθ﹣，再由=（﹣）•（﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．解答：解：设∠AMB=θ，则∠AMC=πθ﹣．又=﹣，=﹣，∴=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+，=255×3cosθ3×5cos﹣﹣﹣（πθ﹣）+9=16﹣，故答案为﹣16．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x[0∈，1]时，f（x）=x+1，则=　　．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值。专题：计算题。分析：利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=f（+2）=f（），又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f∴（）=f（），又∵当x[0∈，1]时，f（x）=x+1，∴有：f（）=+1=，则=．故答案为．点评：本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握．17．（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。专题：计算题。分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．解答：解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为圆心到直线y=x的距离为=2∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a）切线方程为y﹣（+a）=x﹣即xy﹣﹣+a=0由题意可知xy﹣﹣+a=0与直线y=x的距离为即解得a=或﹣当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．考点：解三角形。专题：计算题。分析：（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作①，再由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与c的值．解答：解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理=，得：sinBsinA=sinAcosB，A∵为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB=∴cosB，即tanB=，又B为三角形的内角，∴B=；（2）由sinC=2sinA及正弦定理=，得：c=2a①，b=3∵，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c22accosB﹣得：9=a2+c2ac﹣②，联立①②解得：a=，c=2．点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．19．（2012•浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，nN∈*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，nN∈*．（1）求an，bn；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定。专题：计算题。分析：（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=，当n≥2时，由an=sns﹣n1﹣可求通项，进而可求bn（II）由（I）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，an=sns﹣n1﹣=2n2+n2﹣（n1﹣）2﹣（n1﹣）=4n1﹣而n=1，a1=41=3﹣适合上式，故an=4n1﹣，又∵足an=4log2bn+3=4n1﹣∴（II）由（I）知，2Tn=3×2+7×22+…+（4n5﹣）•2n1﹣+（4n1﹣）•2n∴=（4n1﹣）•2n=（4n1﹣）•2n[3+4﹣（2n2﹣）]=（4n5﹣）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA﹣1B1C1D1中，ADBC∥，ADAB⊥，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EFA∥1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。专题：综合题。分析：（1）（i）先由C1B1A∥1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1EF∥，证出EFA∥1D1．（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1BA⊥1，再由tanA∠1B1F=tanAA∠1B=，即∠A1B1F=AA∠1B，得出BA1B⊥1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RTBHC△1中求解即可．解答：（1）证明（i）∵C1B1A∥1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面平面ADD1A1=EF，C∴1B1EF∥，∴EFA∥1D1；（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1B⊥1C1，又∵B1C1B⊥1A1，B∴1C1⊥平面ABB1A1，B∴1C1BA⊥1，在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA∠1B1F=tanAA∠1B=，即∠A1B1F=AA∠1B，故BA1B⊥1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）解：设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RTBHC△1中，BC1=2，sinBC∠1H==，所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．点评：本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．21．（2012•浙江）已知aR∈，函数f（x）=4x32ax+a﹣．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2a|﹣＞0．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。专题：综合题。分析：（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x22a=12﹣（x﹣）（x+），由此可确定f（x）的单调递增区间；单调递增区间；（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2a|=4x﹣32ax+2≥4x﹣34x+2﹣；当a＞2时，f（x）+|2a|﹣=4x3+2a（1x﹣）﹣2≥4x3+4（1x﹣）﹣2=4x34x+2﹣，构造函数g（x）=2x32x+1﹣，0≤x≤1，确定g（x）min=g（）=1﹣＞0，即可证得结论．解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=12x22a﹣a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）a＞0时，f′（x）=12x22a=12﹣（x﹣）（x+）f∴（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调递增区间为（﹣，）；（2）证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2a|=4x﹣32ax+2≥4x﹣34x+2﹣当a＞2时，f（x）+|2a|=4x﹣3+2a（1x﹣）﹣2≥4x3+4（1x﹣）﹣2=4x34x+2﹣设g（x）=2x32x+1﹣，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣）（x+）x0（0，）g′（x）﹣+g（x）极小值g∴（x）min=g（）=1﹣＞0∴当0≤x≤1时，2x32x+1﹣＞0∴当0≤x≤1时，f（x）+|2a|﹣＞0．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．（1）求p，t的值．（2）求△ABP面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质。专题：计算题；综合题；转化思想。分析：（1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t的值即可．（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用推出AB的方程ym=﹣．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S==|12﹣（mm﹣2）|．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．解答：解：（1）由题意可知得，．（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），由得，（y1y﹣2）（y1+y2）=x1x﹣2，故k•2m=1，所以直线AB方程为ym=﹣．即△=4m4m﹣2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2m﹣．从而|AB|==，设点P到直线AB的距离为d，则d=，设△ABP的面积为S，则S==|12﹣（mm﹣2）|．由△=＞0，得0＜m＜1，令u=，，则S=u（12u﹣2），，则S′（u）=16u﹣2，S′（u）=0，得u=，所以S最大值=S（）=．故△ABP面积的最大值为．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力．